La Mécanique Quantique pour les Non Physiciens

V La non-localit´e et ensuite en usant i) de fa¸con r´ep´et´ee, pour voir que le membre de droite de (4.8) ´egal − 1 . D´efinissons maintenant les op´erateurs suivants : A = σ 1 x σ 2 y B = σ 1 y σ 2 x C = σ 1 x σ 2 x D = σ 1 y σ 2 y X = A.B Y = C.D Alors, observons ce qui suit, en utilisant ii) et iii) : α ) [ A, B ] = 0 β ) [ C, D ] = 0 γ ) [ X, Y ] = 0 L’identit´e (7) peut ˆetre r´e´ecrite comme suit : X.Y = − 1 . (4.9) Mais, en utilisant la formule (4.3) du Th´eor`eme, α ) − γ ) et (4.6) ci-dessus, nous avons : a) v ( X.Y ) = v ( X ) v ( Y ) = v ( A.B ) v ( C.D ) b) v ( A.B ) = v ( A ) v ( B ) c) v ( C.D ) = v ( C ) v ( D ) d) v ( A ) = v ( σ 1 x ) v ( σ 2 y ) e) v ( B ) = v ( σ 1 y ) v ( σ 2 x ) f) v ( C ) = v ( σ 1 x ) v ( σ 2 x ) g) v ( D ) = v ( σ 1 y ) v ( σ 2 y ) Puisque l’unique valeur propre de l’op´erateur − 1 est − 1, nous avons, en combinant (4.9) avec la formule (4.2) dans le Th´eor`eme et a)-g) ci-dessus : v ( X.Y ) = − 1 = v ( σ 1 x ) v ( σ 2 y ) v ( σ 1 y ) v ( σ 2 x ) v ( σ 1 x ) v ( σ 2 x ) v ( σ 1 y ) v ( σ 2 y ) (4.10) o`u le membre de droite vaut v ( σ 1 x ) 2 v ( σ 2 y ) 2 v ( σ 1 y ) 2 v ( σ 2 x ) 2 , puisque les facteurs dans le produit apparaissent deux fois. Mais cette derni`ere expression est manifestement positive (et, en 22