La Mécanique Quantique pour les Non Physiciens

La m´ecanique quantique pour non-physiciens Remarque Le symbole v est utilis´e pour « valeur » ; on devrait penser `a v ( A ) comme ´etant la valeur que l’ « observable » A donn´e dans le syst`eme poss`ede avant la mesure ( et que cette derni`ere r´ev`ele). Les contraintes 1) et 2) sont justifi´ees par des raisons purement empiriques , enti`erement ind´ependantes de la validit´e de la th´eorie quantique en tant que telle. En fait (pour 1) les r´esultats des mesures sont toujours des valeurs propres ; et (pour 2), puisque A et B commutent, on pourrait (en principe) mesurer simultan´ement A , B et AB et les r´esultats doivent satisfaire (4.3). D´emonstration Nous utiliserons les op´erateurs donn´es par les matrices standards « x » et « y » de Pauli, pour deux « spins » , σ i x , σ i y , i = 1 , 2 o`u les produits tensoriels sont compris tacitement : σ 1 x ≡ σ 1 x ⊗ 1 , σ 2 x ≡ 1 ⊗ σ 2 x , etc. Ces op´erateurs agissent sur C 4 . Les identit´es suivantes sont bien connues : i) ( σ i x ) 2 = ( σ i y ) 2 = 1 (4.4) pour i = 1 , 2. ii) σ i x σ i y = − σ i y σ i x (4.5) pour i = 1 , 2. iii) [ σ 1 α , σ 2 β ] = 0 , (4.6) o`u α, β = x ou y . Maintenant consid´erons l’identit´e : σ 1 x σ 2 y σ 1 y σ 2 x σ 1 x σ 2 x σ 1 y σ 2 y = − 1 (4.7) qui suit, en utilisant d’abord ii) et iii) ci-dessus pour d´eplacer σ 1 x dans le produit de la premi`ere place (en partant de la gauche) vers la quatri`eme place, d´eplacement qui consiste en une anticommutation et deux commutations : σ 1 x σ 2 y σ 1 y σ 2 x σ 1 x σ 2 x σ 1 y σ 2 y = − σ 2 y σ 1 y σ 2 x σ 1 x σ 1 x σ 2 x σ 1 y σ 2 y (4.8) 21